Integral indefinida

Integral indefinida

Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.

Se representa por ∫ f(x) dx.

Se lee : integral de f de x diferencial de x.

∫ es el signo de integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.

Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:

∫ f(x) dx = F(x) + C

Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.

Propiedades de la integral indefinida

1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.

∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx

2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx

INTEGRALES INDEFINIDAS

Usted está familiarizado con algunas operaciones inversas. La adición y la sustracción son operaciones inversas, la multiplicación y la división son también operaciones inversas, así como la potenciación y la extracción de raíces. Ahora, conocerá la operación inversa la de derivación o diferenciación denominada antiderivación o antidiferenciación, la cual implica el cálculo de una antiderivada.

Antiderivada.

Una función F se denomina antiderivada de una función f en un intervalo I si para todo 

Ejemplo.

Si F es la función definida por entonces De modo que si entonces f es la derivada de F, y F es la antiderivada de f. Si G es la función definida por entonces G también es una antiderivada de f, porque En realidad, cualquier función H definida por donde C es una constante, es una antiderivada de f.

Teorema 1.

Si f y g son dos funciones definidas en el intervalo I, tales que para todo entonces existe una constante K tal que para todo 

"La antiderivación o antidiferenciación es el proceso mediante el cual se determina el conjunto de todas las antiderivadas de una función dada. El símbolo denota la operación de antiderivación, y se escribe donde y 

En la igualdadx es la variable de integración, es el integrando y la expresión recibe el nombre de antiderivada general o integral indefinida de f. Si es el conjunto de todas las funciones cuyas diferenciales sean también es el conjunto de todas las funciones cuya derivada es 

Teorema 2.

Teorema 3.

donde a es una constante.

Teorema 4.

Si las funciones f y g están definidas en el mismo intervalo, entonces 

Teorema 5.

Si las funciones están definidas en el mismo intervalo, entonces 

donde son constantes.

Teorema 6.

Si n es un número racional, entonces 

Ejemplos.

1) Evalúe 

Solución.

2) Calcule 

Solución.

3) Determine 

Solución.

Los teoremas para las integrales indefinidas de las funciones trigonométricas seno, coseno, secante al cuadrado, cosecante al cuadrado, secante por tangente y cosecante por cotangente, son deducciones inmediatas de los teoremas correspondientes de diferenciación. A continuación se presentan tales teoremas.

Leer más: http://www.monografias.com/trabajos68/integrales-indefinidas/integrales-indefinidas.shtml#ixzz30bxjywsr

Teorema 7.

Teorema 8.

Teorema 9.

Teorema 10.

Teorema 11.

Teorema 12.

Ejemplos.

1) Evalúe 

Solución.

Las identidades trigonométricas se emplean con frecuencia cuando se calculan integrales indefinidas que involucran funciones trigonométricas. Las ocho identidades trigonométricas fundamentales siguientes son de crucial importancia.

2) Calcule 

Solución.

3) Determine 

Solución.

Ejercicios.

Calcule las integrales indefinidas:

Teorema 13. Regla de la cadena para antiderivación.

Sea g una función diferenciable y sea el contradominio de g algún intervalo I. Suponga que f es una función definida en I y que F es una antiderivada de f en I. Entonces 

Teorema 14.

Si g es una función diferenciable y n es un número racional, entonces 

Ejemplos.

1) Evalúe 

Solución.

y observe que si entonces Por lo tanto, se necesita un factor 3 junto a para obtener En consecuencia, se escribe

2) Calcule 

Solución.

Observe que si entonces Por lo tanto, necesitamos un factor 6 junto a para obtener Luego, se escribe 

• 3) Evalúe 

Solución.

Como se escribe 

Ejercicios.

Resuelva:

En los teoremas que se presentan a continuación es una función de x, es decir, 

Teorema 15.

Ejemplo.

Evalúe 

Solución.

En este caso por lo tanto, luego se necesita un factor 3 junto a para obtener Entonces, se escribe

Teorema 16.

Ejemplo.

Calcule 

Solución.

Consideremos tenemos que luego necesitamos un factor 6 junto a para obtener Por lo tanto,

Teorema 17.

Ejemplo.

Calcule 

Solución.

Como entonces por lo tanto,

Teorema 18.

Ejemplo.

Evalúe 

Solución.

Siendo entonces luego, podemos escribir

Teorema 19.

Ejemplo.

Resuelva 

Solución.

Ejercicios.

Resuelva las integrales indefinidas:

Teorema 20.

Ejemplo.

Evalúe 

Solución.

Sea entonces, por lo tanto

Teorema 21.

Ejemplo.

Evalúe 

Solución.

Como se aplica el teorema 21 con de donde obtenemos, entonces

Ejercicios.

En los siguientes ejercicios evalúe la integral indefinida.

A partir de las fórmulas de las derivadas de las funciones trigonométricas inversas se obtienen algunas fórmulas de integrales indefinidas. El teorema siguiente proporciona tres de estas fórmulas.

Teorema 22.

El teorema siguiente proporciona algunas fórmulas más generales.

Teorema 23.

Ejemplos.

1) Evalúe 

Solución.

2) Evalúe 

Solución.

Con la finalidad de completar el cuadrado de se suma y como está multiplicado por 3 en realidad se suma es al denominador, de modo que para que la expresión del denominador persista, es decir, no se altere, se resta también Por lo tanto, se tiene

3) Evalúe 

Solución.

Las fórmulas de integración indefinida del teorema siguientes son consecuencia inmediata de las fórmulas de las derivadas de las funciones hiperbólicas.

Teorema 24.

Ejemplos.

1) Evalúe 

Solución.

2) Evalúe 

Ejercicios.

Antes de estudiar los diferentes métodos de integración, se presenta una lista numerada de las fórmulas típicas de integración indefinida las cuales deben ser memorizadas por el estudiante para un mejor desenvolvimiento.

Emprendamos el estudio de los métodos de integración. Uno de los métodos más ampliamente usados en la resolución de integrales es la integración por partes.

INTEGRACIÓN POR PARTES

La fórmula de la integración por partes es la siguiente:

Esta fórmula expresa a la integral en términos de la integral Mediante una elección adecuada de u y dv, puede evaluarse más fácilmente integral 

Ejemplos.

1) Evaluar 

Solución.

Tomemos u = ln x y dv = x dx, por lo tanto, y luego, 

2) Evaluar 

Solución.

Sea y entonces, y por lo tanto, 

Ejercicios.

Evalúe las integrales indefinidas.

INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS

Las integrales trigonométricas implican operaciones algebraicas sobre funciones trigonométricas.

CASO 1.

(i) o (ii) donde n es un número entero positivo impar.

(i) Se hace la transformación

(ii) Se hace la transformación

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